Question

20．△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（　　）

• A． 22.5°
• B． 30°
• C． 36°
• D． 45°

Answer 1

分析 根据黄金分割的定义得到AD²=BD•AB，而AD=AC=BC，则BC²=BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．

解答 解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，
∴AD²=BD•AB，
∵AD=AC=BC，
∴BC²=BD•AB，
即BC：BD=AB：BC，
而∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠A=∠BCD，
设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=2x，
∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°，
即∠A=36°．
故选：C．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．