Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点，求证：ME=

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CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD=BF，再求出∠CBF=∠ABD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=

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2

AD，从而得到ME=

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2

CF．

解答：证明：如图，延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，
∴∠BFE=45°，BE⊥DF，
∴BE垂直平分DF，
∴∠BDE=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=BF，∠DBF=90°，
∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，
∴∠CBF=∠ABD，
在△ABD和△CBF中，

AB=BC ∠CBF=∠ABD BD=BF

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD=CF，
∵M为AF的中点，DE=EF，
∴ME是△ADF的中位线，
∴ME=

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AD，
∴ME=

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2

CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．