Question

如图，已知⊙O的半径为2，圆心在坐标原点，AC，BD为⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

），且AC⊥x轴，BD⊥y轴．则四边形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：四边形ABCD的面积等于四个直角三角形的面积，根据⊙O的半径为2，M（1，

2

），利用垂径定理得出AM、BM、CM、DM的长，从而得出答案．

解答：解：连接OB、OC，设AC，BD分别交x，y轴于点F，E，
∵M（1，

2

），
∴OE=

2

，OF=1，
∴由勾股定理得BE=

2

，CF=

3

，
∵ME=1，
∴BM=

2

+1，DM=

2

-1，AM=

3

-

2

，CM=

3

+

2

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BCM+S_△ABM+S_△ADM+S_△CDM，
=

BM•CM

2

+

AM•BM

2

+

AM•DM

2

+

CM•DM

2

，
=

( 2 +1)( 3 + 2 )

2

+

( 3 - 2 )( 2 +1)

2

+

( 3 - 2 )( 2 -1)

2

+

( 3 + 2 )( 2 -1)

2

，
=

1

2

×4

6

，
=2

6

．
故答案为：2

6

．

点评：本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，将四边形的面积分解成三角形的面积进行计算是解此题的关键．