Question

7．在一条笔直的公路上，甲，乙二人从A处同时出发，相背而行，出发段时间后，甲提高了速度，设甲行驶的路程为y_甲（单位：km），乙行驶的路程为y_乙（单位：km），甲、乙二人之间的距离为y（单位：km），行驶时间为x（单位：h），y与x之间的部分函数图象如图①所示，y_乙与x之间的部分函数图象如图②所示．
（1）分别求出甲2h，6h行驶的路程；
（2）当0≤x≤6时，求出y_甲与x之间的函数关系式，
（3）若6小时后，甲保持第6小时的速度，乙提速，当x=8h时，甲、乙之间的路程相差30km，求乙提速后的速度．

Answer 1

分析 （1）结合图象分析计算，注意图①表示的是甲乙之间的距离（数形结合）；
（2）由于甲在途中，速度有变化，故用分段函数来表示（分类讨论）；
（3）根据题意找等量关系，列方程求解（方程思想，分类讨论思想）

解答 解：（1）由图①可得，当x=2时，y=100；当x=6时，y=380，
∴甲2h行驶的路程为y-y_乙=100-60=40km；
甲6h行驶的路程为y-y_乙=380-180=200km．
（2）当0≤x≤6时，分两种情况：
①当0≤x≤2时，设y_甲=k₁x，
把（2，40）代入y_甲=k₁x得：2k₁=40，
解得：k₁=50，
∴y_甲=20x；
②当2≤x≤6时，设y_甲=k₂x+b，
把（2，40），（6，200）代入y_甲=k₂x+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+b=40}\\{6{k}_{2}+b=200}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=40}\\{b=-40}\end{array}\right.$，
∴y_甲=40x-40．
∴${y}_{甲}=\left\{\begin{array}{l}{20x（0≤x≤2）}\\{40x-40（2≤x≤6）}\end{array}\right.$．
（3）甲第6小时的速度为：（200-40）÷（6-2）=40（km/h），
当x=8h时，甲走的路程为：40×8-40=280km，
设6小时后，乙提速后的速度为xkm/h，当x=8h时，乙走的路程为：180+（8-6）x=180+2x，
当甲走的路程大于乙走的路程，根据题意得：280-（180+2x）=30，
解得：x=35；
当甲走的路程小于乙走的路程，根据题意得：180+2x-520=30，
解得：x=65，
∴乙提速后的速度为35km/h或65km/h．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数的解析式，并应用数形结合的解题思想．