题目内容
（2013•和平区一模）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OB=2，将矩形折叠，使点O落在边BC（含端点）上，落点记为D，这时折痕与边OA或AC（含端点）交于点E，然后展开铺平，得到△ODE．
（Ⅰ）如图1，当点D位于BC的中点时，点E的坐标为
（Ⅱ）如图2，当点E与点A重合时，求△ODE的面积；
（Ⅲ）如图3，是否存在面积最大的△ODE？若存在，请说明理由，并求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）如图1，当点D位于BC的中点时，点E的坐标为
（2，0）
（2，0）
；（Ⅱ）如图2，当点E与点A重合时，求△ODE的面积；
（Ⅲ）如图3，是否存在面积最大的△ODE？若存在，请说明理由，并求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由折叠性质可知，折痕垂直平分OD，则折痕经过点B，折痕为直线BE，证明四边形OBDE为正方形，即可求得点E的坐标；
（Ⅱ）当点E与点A重合时，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，根据三角形的面积公式即可求得△ODE的面积；
（Ⅲ）分两种情况讨论：①当点E在边OA上时，根据三角形的面积公式可得S△ODE=
OE•OB，由OE≤OA得出
OE•OB≤
OA•OB=4，则当点E与点A重合时，△ODE的面积最大，最大面积为4；②当点E在边AC上时，过点E作EF∥OA交OB于点F，交OD于点G，根据三角形的面积公式可得S△ODE=S△DGE+S△OGE=
GE•OB，由GE≤EF得出
GE•OB≤
EF•OB=4，则当点E在边AC的中点时，△ODE的面积最大，最大面积为4．然后求△ODE的面积最大时，点D的坐标．①当点E与点A重合时，由折叠的性质及勾股定理求出BD=4-2
，即D（4-2
，2）；②当点E在边AC的中点时，点D与点B重合，易求D（0，2）．
（Ⅱ）当点E与点A重合时，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，根据三角形的面积公式即可求得△ODE的面积；
（Ⅲ）分两种情况讨论：①当点E在边OA上时，根据三角形的面积公式可得S△ODE=
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解答：
解：（Ⅰ）如图1，连接OD，作OD的中垂线交OA与点E，连接DE．
∵OB=BD，
∴点B在OD的中垂线上，即折痕经过点B，折痕为直线BE，
∴∠OBE=∠DBE=
∠OBD=45°，∠OEB=∠DEB，
∵BD∥OE，
∴∠OEB=∠DBE=45°=∠DEB，
∴∠DEO=∠EOB=∠OBD=90°，
又OB=OD，
∴四边形OBDE为正方形．
∴OE=OB=2，
∴点E的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（Ⅱ）如图2，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，
∴S△ODE=
OA•DF=
×4×2=4；
（Ⅲ）存在面积最大的△ODE，其面积为4．理由如下：
①当点E在边OA上时，如图3．
S△ODE=
OE•OB≤
OA•OB=4；
当点E与点A重合时，△ODE的面积最大，最大面积为4；
②当点E在边AC上时，如图4．
过点E作EF∥OA交OB于点F，交OD于点G，
∵S△DGE=
GE•BF，S△OGE=
GE•OF，
∴S△ODE=
GE•BF+
GE•OF=
GE（BF+OF）
=
GE•OB≤
EF•OB=
S矩形OACB=4．
当点E在边AC的中点时，△ODE的面积最大，最大面积为4．
下面求△ODE的面积最大时，点D的坐标．
①当点E与点A重合时，如图2．
由折叠可知，AD=AO=4．
在Rt△ACD中，DC=
=
=2
，
∴BD=4-2
，
∴D（4-2
，2）；
②当点E在边AC的中点时，点D与点B重合，如图5，
此时D（0，2）．
综上所述，△ODE的面积最大时，点D的坐标为（4-2
，2）或（0，2）．
解：（Ⅰ）如图1，连接OD，作OD的中垂线交OA与点E，连接DE．∵OB=BD，
∴点B在OD的中垂线上，即折痕经过点B，折痕为直线BE，
∴∠OBE=∠DBE=
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∵BD∥OE，
∴∠OEB=∠DBE=45°=∠DEB，
∴∠DEO=∠EOB=∠OBD=90°，
又OB=OD，
∴四边形OBDE为正方形．
∴OE=OB=2，∴点E的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（Ⅱ）如图2，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，
∴S△ODE=
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（Ⅲ）存在面积最大的△ODE，其面积为4．理由如下：
①当点E在边OA上时，如图3．S△ODE=
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当点E与点A重合时，△ODE的面积最大，最大面积为4；
②当点E在边AC上时，如图4．
过点E作EF∥OA交OB于点F，交OD于点G，
∵S△DGE=
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∴S△ODE=| 1 |
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当点E在边AC的中点时，△ODE的面积最大，最大面积为4．
下面求△ODE的面积最大时，点D的坐标．
①当点E与点A重合时，如图2．
由折叠可知，AD=AO=4．
在Rt△ACD中，DC=| AD2-AC2 |
| 42-22 |
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∴BD=4-2
| 3 |
∴D（4-2
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②当点E在边AC的中点时，点D与点B重合，如图5，
此时D（0，2）．
综上所述，△ODE的面积最大时，点D的坐标为（4-2
| 3 |
点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形、轴对称的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．
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