Question

已知AC∥BD，求∠PAC，∠PBD，∠APB之间的关系．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：在图1、图2、图3中，过P作MN∥AC，根据平行线的性质可找到三个角之间的关系，在图4、图5中，直接利用平行线的性质和三角形外角的性质可求得三个角之间的关系．

解答：解：如图1，过P作MN∥AC，

∵AC∥BD，
∴MN∥BD，
∴∠PAC=∠APM，∠PBD=∠BPM，
∴∠APB=∠APM+∠BPM=∠PAC+∠PBD；
如图2，过P作MN∥AC，

∵AC∥BD，
∴MN∥BD，
∴∠PAC+∠APN=180°，∠PBD+∠BPN=180°，
∴∠APB=∠APN+∠BPN=180°-∠PAC+180°-∠PBD=360°-∠PAC-∠PBD，
∴∠APB+∠PBD+∠PAC=360°；
如图3，过P作MN∥AC，同理可得MN∥BD，

∴∠PAC+∠APN=180°，∠PBD=∠BPN，
∴∠APB=∠APN+∠BPN=180°-∠PAC+∠PBD，
即∠APB+∠PAC-∠PBD=180°；
如图4，设AC与PD交于点E，

∵AC∥BD，
∴∠PEC=∠PBD，
又∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB；
如图5，设AP与BD交于点E，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AEB，
又∵∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

点评：本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题的关键．