Question

4．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，F为AC中点，连接BF作AE⊥BF交BF于E，交BC于D，求证：∠AFB=∠CFD．

Answer 1

分析 由∠BAC为直角，得到其它两锐角互余，又根据AE与BF垂直，得到三角形AFD为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证．

解答 证明：作AG平分∠BAC，交BF于点G，

∵∠BAC=90°，AE⊥BF，
∴∠FAE+∠AFB=∠ABE+∠AFB=90°，
∴∠ABG=∠CAD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
在△BAG和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠CAD}\\{AB=AC}\\{∠C=∠BAG}\end{array}\right.$
∴△BAG≌△ACD（ASA），
∴AG=CD，
又∵AF=CF，∠GAF=∠C=45°，
∴△AGF≌△DFC（SAS），
∴∠AFB=∠CFD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．添加合适的辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．