Question

如图，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接DE．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求tan∠BDE的值；
（3）若坐标轴上存在一点F，使△OFA∽△BDE成立，试求点F的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,矩形的性质,相似三角形的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）可先求出点D的坐标，然后把它代入y=

k

x

，就可求出双曲线的解析式；
（2）可先求出点E的坐标，然后在Rt△BDE中运用三角函数的定义，即可求出tan∠BDE的值；
（3）根据相似三角形的性质可求出OF的值，就可得到点F的坐标．

解答：解：（1）∵点D是矩形OABC的边AB的中点，B（4，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
∵点D（2，3）在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=2×3=6，
∴双曲线的解析式为y=

6

x

；

（2）∵点E在双曲线y=

6

x

上，且x_E=4，
∴y_E=

3

2

，即CE=

3

2

．
在Rt△BDE中，
∵BE=BC-CE=

3

2

，BD=AB-AD=2，
∴tan∠BDE=

BE

BD

=

3

4

；

（3）若△OFA∽△BDE，则

OF

BD

=

OA

BE

，
∴

OF

2

=

3

3 2

，即OF=4，
∴点F的坐标为（4，0）或（-4，0）．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质、矩形的性质、三角函数的定义等知识，有一定的综合性，需要注意的是第（3）小题根据OF的长求点F的坐标有两种可能．