Question

如图，S_{四边形ABCD}=20cm²，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，HF=5cm，EO⊥HF于点O，则EO=

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：根据三角形中位线定理可以推知四边形EFGH是平行四边形、四边形EFGH的面积为10cm²，然后利用平行四边形的性质得到△EFH的面积为5cm²，根据三角形的面积公式来求EO的长度．

解答：解：连接BD，
在△ABD中，∵E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD；
在△BCD中，∵G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF=

1

2

BD，
∴EH=GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴S_△EHF=

1

2

S_{四边形EFGH}．
易证△AHE∽△ADB，相似比为

1

2

，面积比为

1

4

．
∴S_△ADB=4S_△AHE
同理可得，S_△ADC=4S_△HDG，S_△BCD=4S_△GCF，S_△ACB=4S_△EFB
∴S_△ADB+S_△ADC+S_△BCD+S_△ACB=2S_{四边形ABCD}=4S_△AHE+4S_△HDG+4S_△GCF+4S_△EFB
∴S_△AHE+S_△HDG+S_△GCF+S_△EFB=

1

2

S_{四边形ABCD}
∴S_{四边形EFGH}=S_{四边形ABCD}-（S_△AHE+S_△HDG+S_△GCF+S_△EFB）=

1

2

S_{四边形ABCD}=

1

2

×20=10（cm²）
∴S_△EHF=

1

2

S_{四边形EFGH}=5cm²，即

1

2

HF•EO=5，则

1

2

×5×EO=5，
解得 EO=2．
故答案是：2cm．

点评：本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．