Question

11．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）求证：GF=GC；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
（3）我们学过的菱形（填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”）的中点四边形一定是矩形；矩形（填“平行四边形”、“矩形”或菱形“）的中点四边形一定是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）根据对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形进行判断即可．

解答 解：（1）连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EG}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；

（2）设GC=x=FG，则DG=3-x，
∵AF=AB=3，
∴AG=3+x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得，4²+（3-x）²=（3+x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
即线段GC的长为$\frac{4}{3}$；

（3）根据菱形的对角线互相垂直，可知菱形的中点四边形一定是矩形；
根据矩形的对角线相等，可知矩形的中点四边形一定是菱形．
故答案为：菱形，矩形．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形．