Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO=．

（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；

（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；

（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△DBC=S△ADC时，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，对称轴x=1；（2）tan∠ABC=1；（3）点D的坐标为（1，-4）．

【解析】

（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x2+bx+c，解方程组即可解决问题；
（2）作BE⊥OA于E．只要证明△AOC≌△BEA，再推出△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题；
（3）过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S△DBC=S△ADC，先求出直线AB的解析式，再求出直线CD的解析式即可解决问题．

解：（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x2+bx+c得到，

，解得，

∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，

∴对称轴为x=-=1．

故抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，对称轴为x=1；

（2）如图，作BE⊥OA于E．

∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=，

∴OA=3，OE=2，BE=3，∴AE=1，OC=OA×tan∠CAO=1，

∴BE=OA，AE=OC，

∵∠AEB=∠AOC=90°，

∴△AOC≌△BEA(SAS)，

∴AC=AB，∠CAO=∠ABE，

∵∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠CAB=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴tan∠ABC=1；

（3）如图，过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S△DBC=S△ADC，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0），B（2，3）代入得，

，解得，∴直线AB的解析式为y=-3x+9．

∵AB∥CD，设直线CD的解析式为y=-3x+m，将点C(0，-1)代入得，m=-1，

∴直线CD的解析式为y=-3x-1，当x=1时，y=-4，
∴点D的坐标为（1，-4）．