题目内容
3．
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且A（6，0），cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交y轴于点E，交x轴于点D．（1）求tan∠BAO；
（2）求直线CD的表达式；
（3）已知点P为直线CD上一点，且CP=$\frac{1}{2}$AB，若坐标平面内存在点M使以点C，P，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点M的个数．
分析 （1）由锐角三角函数求得正切值；
（2）根据三角形中位线的性质求得点C的坐标，再求出直线AB的解析式，由CD垂直平分AB，得到直线CD的斜率，求出左旋CD的解析式；
（3）因为点P为直线CD上一点，且CP=$\frac{1}{2}$AB，证得满足条件的点P有两个，再根据点C，P，M都有可能是直角顶点，分类讨论，求出满足条件的点M的个数．
解答 解：（1）∵A（6，0）∴OA=6，
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{OA}{\frac{3}{5}}$=$\frac{6}{\frac{3}{5}}$=10，
∴OB=$\sqrt{{AB}^{2}{-OA}^{2}}$=8，
∴B（0，8），
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{3}$；
（2）∵CD垂直平分AB，
∴C（3，4），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{8=b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+8，
∵CD⊥AB，
∴设直线CD的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+m，
∴4=$\frac{3}{4}$×3+m，
∴m=$\frac{7}{4}$，
∴直线CD的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；
（3）∵点P为直线CD上一点，且CP=$\frac{1}{2}$AB，
∴满足条件的点P由两个，
当∠PCM=90°，PC=MC时，点M与点A或点B重合，
∴这样的点M由2个，
当∠CPM=90°，PM=PC，
∴这样的点M由4个，
当∠CMP=90°，CM=PM时，
∴这样的点M由4个，
∴以点C，P，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，满足条件的点M的个数是10．
点评 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定，要注意的是（3）中，要根据M点的不同位置进行分类求解．
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如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题．（1）将下表填写完整；
| 操作次数N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | n |
| 正方形个数 | 4 | 7 | 10 | an |
（3）按照上述方法，能否得到2015个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．
如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A（4，0）、B（0，3）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于D．| 用户每月用水量 | 自来水单价（元/吨） | 污水处理费用（元/吨） |
| 17吨及以下 | a | 0.80 |
| 超过17吨不超过30吨的部分 | b | 0.80 |
| 超过30吨的部分 | 6.00 | 0.80 |
已知小明家2014年4月份用水10吨，交水费30元；5月份用水35吨，交水费150元．
（1）求a、b的值．
（2）实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.3元．