Question

11．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是DC上的中点，且FC=$\frac{1}{4}$CD，试判断AE与EF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 连接AF，设FC=a，分别计算AF，EF，AE的值，根据三角形三边长和勾股定理的逆定理可以判定△AEF为直角三角形，即可证明AE⊥EF．

解答 证明：连接AF，
设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF=$\sqrt{5}$a，AE=2$\sqrt{5}$a从而由
（$\sqrt{5}$a）²+（2$\sqrt{5}$）²=（5a）²
即EF²+AE²=AF²
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本题中判定△AEF为直角三角形是解题的关键．