Question

【题目】问题提出：

如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

a．每次只能移动1个金属片；

b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．

把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？

问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．

探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．

探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：

a．把第1个金属片从1号针移到2号针；

b．把第2个金属片从1号针移到3号针；

c．把第1个金属片从2号针移到3号针．

用符号表示为：，，．共移动了3次．

探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是：

a．把上面两个金属片从1号针移到2号针；

b．把第3个金属片从1号针移到3号针；

c．把上面两个金属片从2号针移到3号针．

其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：

，，，，，，．共移动了7次．

（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________．

（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次．

（3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．

（4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________．

Answer 1

【答案】（1）当时，移动顺序为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

（2），（3），（4）

【解析】

根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．

解：（1）当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：

（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

故答案为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

（2）解：设 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数

n=1时，f（1）=1；

n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即

n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成．

[用种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用 种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，

故答案为：

（3）由（2）知：

故答案为：

（4）

故答案为：