Question

如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．
（1）求证：BM+DF=MF；
（2）求∠NCE的度数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题,压轴题

分析：（1）截长补短类型题目，延长CD至G使DG=BM，证明△ADG≌△ABM，将BM+DF转化到一条线段GF上，再证明MF=GF；
（2）过点N作NH⊥EB，证△MHN≌△ABM，再根据线段间的关系得到NH=HC，从而得到△CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得∠NCE=45°．

解答：（1）证明：延长CD至G使DG=BM，
在△ADG和△ABM中，

AD=AB ∠ADG=∠ABM DG=BM

，
∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴AG=AM，
又∵△AMN为等腰直角三角形，
∴∠MAN=45°，
∴∠FAD+∠MAB=45°，
∵∠DAG=∠BAM，
∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠MAN，
在在△AFG和△AFM中，

AG=AM ∠GAF=∠MAN AF=AF

，
∴△AFG≌△AFM（SAS），
∴MF=GF，
又∵GF=GD+DF，GD=BM，
∴BM+DF=MF；

（2）解：过点N作NH⊥EB于点H，
∠AMB=180°-∠AMN-∠NMH=90°-∠NMH=∠MNH，
在△ABM≌△MHN中，

∠ABM=∠MHN ∠AMB=∠MNH AM=MN

，
∴△ABM≌△MHN（AAS），
∴AB=MH，BM=NH，
∵CH=MH-MC=AB-MC=BC-MC=BM=NH，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴∠NCE=∠NCG=45°．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．