Question

如图，在?ABCD中，点E、F在对角线BD上，DE=BF．
（1）点O是BD的中点，直线MN过点O与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接MF、FN、NE、ME．求证：四边形MFNE是平行四边形；
（2）M、N分别是AD、BC上的点，AM=CN，连接MF、FN、NE、ME．求证：四边形MFNE是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证得结论；
（2）通过△DOM≌△BON得到OD=OB，则点O是BD的中点，结合（1）的结论，证得四边形MFNE是平行四边形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线BD的中点，MN过点OP，
∴OD=OB，OM=ON．
又∵DE=BF，
∴OD-DE=OB-BF，即OE=OF，
∴四边形MFNE是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=CN，∠MDO=∠NBO．
∴DM=BN．
在△DOM与△BON中，

∠DOM=∠BON ∠ODM=∠OBM DM=BN

，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴OD=OB，
∴点O是对角线BD的中点，
∴由（1）知，四边形MFNE是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．