Question

7．如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件和三角形的内角和定理可求出∠ACB=60°，再由I为内心即可得到∠ICD=30°，由正弦定理即可求出ID的长．

解答 解：连接CI，
∵AD、BE为△ABC的两条角平分线，
∴∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠IBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠AIB=180°-∠BAI-∠IBA，
∴∠AIB=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA），
又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°，
∴∠AIB=90°+$\frac{1}{2}$∠C，
∵C，D，I，E四点共圆，
∴∠EID+∠ACB=180°，
又∵∠AIB=∠EID，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠C+∠C=180°，
∴∠ACB=60°，
∵I为内心，
∴∠ICD=30°，
∵DE=1，
∴$\frac{DE}{sin60°}$=2R，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{ID}{sin30°}=2R$，
∴ID=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角形内接圆的性质、三角形内接四边形的性质以及正弦定理的运用，题目的综合性较强有一定的难度，求出∠C的度数是解题关键．