Question

2．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
①求证：四边形AMCN是菱形．
②若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求$\frac{MN}{DN}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AMCN是平行四边形，再由翻折得AM=CM，则四边形AMCN是菱形．
（2）根据题意求出$\frac{MC}{DN}=\frac{3}{1}$，设MC=3λ；用λ来表示CD、AB的长，运用面积公式即可解决问题．

解答 证明：（1）如图，

连接BD，则BD过点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBM=∠ODN，
在△OBM和△ODN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠ODN}\\{OB=OD}\\{∠BOM=∠ODN}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形．
（2）：∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴$\frac{\frac{1}{2}MC•DC}{\frac{1}{2}DN•DC}=\frac{3}{1}$，即$\frac{MC}{DN}=\frac{3}{1}$，
设MC=3λ，则DN=λ，AD=4λ，CN=3λ；
由勾股定理得：CD²=CN²-DN²=8λ²，
∴CD=2$\sqrt{2}$λ；同理可求AC=2$\sqrt{6}$λ；
由面积公式得：MC•CD=$\frac{1}{2}$AC•MN，
即3λ•2$\sqrt{2}$λ=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$λ•MN，
∴MN=2$\sqrt{3}$λ，
∴$\frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}λ}{λ}=2\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定，注意掌握辅助线的作法，灵活利用图形的性质解决问题．