Question

如图1，∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于O₁点．若∠BAC=40°．
（1）求∠BO₁C的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，再画∠O₁BC和∠O₁CD的角平分线相交于O₂点，求∠BO₂C的度数；
（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO₂₀₁₄C的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质,角平分线的性质

专题：规律型

分析：（1）根据∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，得出O₁B、O₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，于是得出∠A=2∠BO₁C，从而得出答案；
（2）（3）根据（1）的过程同理可得∠BO₁C=2∠BO₂C，因此找出规律，即可得出答案．

解答：解：（1）∵O₁B、O₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，
∵∠O₁CD=∠BO₁C+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠BO₁C=40°，
∴∠BO₁C=20°；

（2）根据（1）可得：
∠BO₁C=2∠BO₂C，
即∠A=2²∠BO₂C=40°，
∴∠BO₂C=10°，

（3）根据（2）可得：∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=n°×（

1

2

）ⁿ．
则∠BO₂₀₁₄C=（

1

2

）²⁰¹⁴•n°

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；用到的知识点是三角形的内角和、三角形的外角性质以及角平分线性质．