Question

6、证明：若p是大于5的质数，则p²-1是24的倍数．

Answer 1

分析：分析整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数（即按模2分类）来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k+1，3k+2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．

解答：证明：把正整数按模（6分）类，可分成6类：6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5，
因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类，
①当p=6k+1时，p²-1=36k²+12k=12k（3k+1），
因k，3k+1中必有一个偶数，此时24是（p²-1）的约数，
②当p=6k+5时，
p²-1=36k²+60k+24，
=12k2+12k，
=12k（k+1），
所以，P²-1是24的倍数．

点评：本题主要考查了质数与合数的定义，在解答此题时，从整数的整除方面考虑问题．