Question

11．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=x相交于点C．

（1）直接写出点C的坐标；
（2）如图，现将直角∠FCE绕直角顶点C旋转，旋转时始终保持直角边CF与x轴、y轴分别交于点F、点D，直角边CE与x轴交于点E．
①在直角∠FCE旋转过程中，$\frac{CD}{CE}$的值是否会发生变化？若改变，请说明理由；若不变，请求出这个值；
②在直角∠FCE旋转过程中，是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式，求方程组的解即可求得点C的坐标；
（2）①过点C作CH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，则可证明△CHD∽△CKE，结合点C的坐标，可求得$\frac{CD}{CE}$的值；
②分△ODE∽△CEF和△ODE∽△CFE两种情况，当△ODE∽△CEF时，利用相似三角形的性质可求得O为EF中点，可求得OF的长，再证明△CHD∽△FOD，利用相似三角形的性质可求得OD的长，可求得D点的坐标；当△ODE∽△CFE时，过点C作CM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，利用△CMD≌△CNE可证得OC=OD，则可求得点D的坐标．

解答 解：
（1）联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；
（2）①不变；
如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，则CH=CK=4，

∵∠1+∠DCK=90°，∠2+∠DCK=90°，
∴∠1=∠2，且∠CHD=∠CKE，
∴△CHD∽△CKE，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{CH}{CK}$=$\frac{4}{4}$=1；
②存在，
1°若△ODE∽△CEF，如图2，

则∠OED=∠CFE，
∴DF=DE，又OD⊥EF，
∴OF=OE，
∵∠FCE=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△CHO中，由勾股定理得OC=$4\sqrt{2}$，
∴OE=OF=OC=4$\sqrt{2}$，
又CH∥OF，
∴△CHD∽△FOD，
∴$\frac{HD}{OD}$=$\frac{CH}{OF}$，即$\frac{4-OD}{OD}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$，
∴OD=8-4$\sqrt{2}$，
∴D（0，8-4$\sqrt{2}$）；
2°若△ODE∽△CFE，如图3，

则∠CEO=∠OED．
过点C作CM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
则CM=CN=4．易证△CMD≌△CNE，
∴∠CEO=∠CDM，CD=CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
∴∠CEO=∠OED=∠CDM=22.5°，
∵△CMO为等腰直角三角形，
∴∠COM=45°，
∴∠OCD=∠COM-∠CDM=22.5°，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC，
在Rt△CMO中，由勾股定理得OC=4$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=4$\sqrt{2}$，
∴D（0，-4$\sqrt{2}$）；
综上所述若以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似，则D点坐标为（0，8-4$\sqrt{2}$）或（0，-4$\sqrt{2}$）．

点评 本题为相似三角形的综合应用，涉及知识点有函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等．在（1）中联立函数解析式构成方程组是求函数图象交点的常用方法，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于OD的方程求得OD的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．