Question

2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°，BC=12，点D、E分别在边AB、AC上，且DA=DE=EC，则EC=$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点B作BF∥DE，过点E作EF∥AB，EF与BF交于点F，连接CF，过点F作FG⊥BC于点G，构建平行四边形BDEF，得到BF=DE，BD=EF，证明△ADE≌△ECF，得到FC=DE，进而得到FC=CE=BF，求出∠FBC=∠ABC-∠DBF=50°-20°=30°，利用等腰三角形的性质得到BG=CG=6，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理，即可解答．

解答 解：如图，

过点B作BF∥DE，过点E作EF∥AB，EF与BF交于点F，连接CF，过点F作FG⊥BC于点G，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE，BD=EF，
∵DA=DE，∠A=80°，
∴∠AED=80°，∠ADE=180°-80°-80°=20°，
∵BF∥DE，
∴∠DBF=∠ADE=20°，
∴∠DEF=∠DBF=20°，
∴∠CEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-80°-20°=80°，
∴∠CEF=∠A，
∵AB=AC，DA=EC，
∴BD=AE，
∴EF=AE，
在△ADE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DA}\\{∠A=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ECF，
∴FC=DE，
∵DE=BF=CE，
∴FC=CE=BF，
∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=（180°-∠A）÷2=50°，
∴∠FBC=∠ABC-∠DBF=50°-20°=30°，
∵FG⊥BC，BF=CF，AB=12，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$AB=6，
在Rt△BGF中，∠FBC=30°，
∴BF=2FG，
根据勾股定理得，BF²-FG²=BG²，
∴4FG²-FG²=36，
∴FG=2$\sqrt{3}$，
∴BF=4$\sqrt{3}$，
∴EC=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建平行四边形．