Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．
（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？
（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当0＜x＜6时，当6＜x＜8时，当x＞8时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）分别根据①当BP=BQ时，②当PQ=BQ时，③当BP=PQ时，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
当0＜x＜6时，
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×（8-x）×（6-x）=

1

2

×24，
x²-14x+24=0，
（x-2）（x-12）=0，
x₁=12（舍去），x₂=2；
当6＜x＜8时，

1

2

×（8-x）×（x-6）=

1

2

×24，
x²-14x+72=0，
b²-4ac=196-288=-92＜0，
∴此方程无实数根，
当x＞8时，
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×（x-8）×（x-6）=

1

2

×24，
x²-14x+24=0，
（x-2）（x-12）=0，
x₁=12，x₂=2（舍去），
所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．

（2）设t秒后△BPQ是等腰三角形，
①当BP=BQ时，t²=6²+（8-t）²，
解得：t=

25

4

；
②当PQ=BQ时，（6-t）²+（8-t）²=6²+（8-t）²，
解得：t=12；
③当BP=PQ时，t²=（6-t）²+（8-t）²，
解得：t=14±4

6

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．