Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，则点C₂坐标为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：证明△DOA∽△ABA₁，则可求出A₁B，由△ABA₁∽△A₁B₁A₂，可得出B₁A₂，从而可得出第一、第二、第三个正方形的边长，过点DE作x轴的平行线，过点C₂作C₂F⊥DE于点F，在Rt△DC₂F中求出DF，C₂F，从而可得出C₂坐标．
解答：∵OD=2，OA=1，
∴AD==，
∵∠BAA1+∠OAD=90°，∠ODA=∠BAA₁，
∴∠BAA₁=∠ODA，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴=，即=，
解得：BA₁=，
∴CA₁=CB+BA₁=，
由△ABA₁∽△A₁B₁A₂，可得=，即=，
解得：B₁A₂=，
∴C₁A₂=CB₁+B₁A₂=，
过点DE作x轴的平行线，过点C₂作C₂F⊥DE于点F，

则易得∠C₂DF=∠ODA，
∴sin∠C₂DF=sin∠ODA===，
解得：C₂F=，
∴tan∠C₂DF=tan∠ODA===，
解得：DF=，
∴可得C₂的横坐标为，纵坐标为+2=．
即点C₂的坐标为（，）．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据相似三角形的对应边成比例，求出前三个正方形的边长，有一定难度，注意耐心思考．