Question

10．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）如图①，若E为AB中点，求证：AE=DB．
（2）如图②，若E为AB上任一点（端点除外），AE=DB是否仍然成立？试说明理由．
（3）等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明BD=BE即可解决问题．
（2）结论：AE=BD．如图2中，作EF∥BC交AC于F．只要证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE．
（3）分两种情形讨论如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．


（2）结论：AE=BD．理由如下：
如图2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=E=AFF，∠AFE=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
∵∠D=∠ECB=∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EFC}\\{∠D=∠CEF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴BD=EF=AE，
∴BD=AE，

（3）如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，
易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．
如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，
易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．
综上所述，CD的长为1或3．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．