题目内容

等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理可知C′E=C′D；
设C′D=x，则C′E=x，易知C′F= $\text{[math]}$ x，
∴ $\text{[math]}$ x+x=1，则x= $\text{[math]}$ -1，
∴CC′=BD-C′D-C′F=5-1-（ $\text{[math]}$ -1）=5- $\text{[math]}$ ；
∴点C运动的时间为 $\text{[math]}$ ；

（2）设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，
设经过t秒△ABC的边与⊙O第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
∵CC′=2t，DD′=t，∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t．
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t；
又∵FC′= $\text{[math]}$ C′E= $\text{[math]}$ C′D′
而FC′+C′D′=FD′=1
∴（ $\text{[math]}$ +1）C′D′=（ $\text{[math]}$ +1）（4-t）=1
解得：t=5- $\text{[math]}$
答：经过5- $\text{[math]}$ 秒△ABC的边与圆第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
则C′D=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t．
∵FC′= $\text{[math]}$ C′E= $\text{[math]}$ C′D′，FC′+C′D′=FD′=1，
∴（ $\text{[math]}$ +1）C′D′=（ $\text{[math]}$ +1）（4-1.5t）=1
解得：t= $\text{[math]}$ ，
∴点B运动的距离为2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）设运动的时间为t秒，根据三角形与圆第一次相切时三角形所走的路程等于AB与⊙O之间的距离加上⊙O所经过的路程解答．
（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．
点评：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析，考查了学生数形结合的分析能力．