Question

如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且点D在BC上，DE与AC交于点F．
（1）求证：△ABD∽△DCF；
（2）若AB=1，BD=

2

2

，则CF的长度是多少？

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的判定，两角对应相等两三角形相似即可得出；
（2）利用（1）中三角形相似，得出对应边比值相等，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠B=∠C=∠E=∠ADE=45°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCF；

（2）解：∵△ABD∽△DCF；
∴

AB

BD

=

CD

FC

，
∵AB=1，
∴BC=

1+1

=

2

，
∵BD=

2

2

，
∴CD=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

1

2 2

=

2 2

FC

，
∴FC=

1

2

，
则CF的长度是

1

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰直角三角形的性质，利用两角对应相等得出三角形相似，相关问题的考查较多，同学们应熟练掌握．