Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒(0＜x＜8)，△DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．

(1)求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；

(2)如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是(4，12)，求点P的速度及AC的长；

(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点(0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y₁、y₂于点E、F．

①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；

②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．

解：

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵，CD＝3，CQ＝x， 　　∴． 　　图象如图所示． 　　(2)方法一：，CP＝8k－xk，CQ＝x， 　　∴． 　　∵抛物线顶点坐标是(4，12)， 　　∴． 　　解得． 　　则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米． 　　方法二：观察图象知，当x＝4时，△PCQ面积为12． 　　此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4． 　　∴由，得．解得． 　　则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米． 　　方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是． 　　∵图象过(0，0)，(4，12)，(8，0)， 　　∴解得 　　∴．　① 　　∵，CP＝8k－xk，CQ＝x， 　　∴．　② 　　比较①②得． 　　则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米． 　　(3)①观察图象，知 　　线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积)． 　　②由(2)得．(方法二，) 　　∵EF＝y2－y1， 　　∴EF＝， 　　∵二次项系数小于0， 　　∴在范围，当时，最大．