Question

已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，P是边BC上的一个动点，AP交对角线BD于点E，BQ⊥AP，交对角线AC于点F、边CD于点Q，联结EF．
（1）求证：OE=OF；
（2）联结PF，如果PF∥BD，求BP：PC的值；
（3）联结DP，当DP经过点F时，试猜想点P的位置，并证明你给猜想．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）若要证明OE=OF，则问题可转化为两条线段所在的三角形即△OAE和△OBF全等即可；
（2）首先证明四边形BPFE是平行四边形，又因为BQ⊥AP，所以平行四边形BPFE是菱形，进而可求出BP：PC的值；
（3）当DP经过点F时，点P在BC中点，通过证明Rt△ABP≌Rt△DCP，由全等三角形的性质：BP=CP，问题得证．

解答：（1）证明：∵BQ⊥AP，
∴∠EBF+∠BEP=90°，
∵∠OAE+∠OEA=90°，∠BEP=∠OEA，
∴∠EBF=∠OAE，
在△OAE和△OBF中

∠OAE=∠EBF OA=OB ∠BOF=∠AOE=90°

，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵OE=OF∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
同理∠OBC=∠OCB=45°
∴∠OEF=∠OBC，
∴EF∥BC，
∵PF∥BD，
∴四边形BPFE是平行四边形，
∵BQ⊥AP，
∴平行四边形BPFE是菱形，
∴BP=PF=

2

2

PC，即BP：PC=

2

2

（3）证明：∵△OAE≌△OBF，
∴∠1=∠2，
∵AC⊥BD，OB=OD，
∴BF=DF，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
在△APF和△DPE中，

∠2=∠3 ∠P=∠P AF=DE

，
∴△APF≌△DPE（AAS），
∴AP=DP，
∵∠ABP=∠DCP=90°，AB=DC，
在Rt△ABP和Rt△DCP中，

AP=DP AB=DC

，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL），
∴BP=CP，
∴点P在BC中点．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、解题的关键是熟记各种特殊四边形的判定方法和性质．