Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的两个不相等的实数根中，有一个根为0，是否存在实数k，使得x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的两个根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0有一根为0，求出m的值，然后把m的值代入x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得到x²-（k-3）x-k+4=0，根据根的判别式求出k的取值范围，然后根据两个根x₁，x₂之差的绝对值为1求出k的值．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的两个不相等的实数根中，有一个根为0，
∴△＞0，△=4（m+1）²-4（m²-2m-3）=16m+16＞0，即m＞-1，
m²-2m-3=0，解得m₁=-1，m₂=3，
∴m=3，
∵方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0有两个根，
∴把m=3代入方程得x²-（k-3）x-k+4=0，
∴△=（k-3）²-4（4-k）=k²-2k-7=（k-1）²-8≥0，
k≥1+2$\sqrt{2}$或k≤1-2$\sqrt{2}$，
∵方程x²-（k-3）x-k+4=0的两个根分别是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k-3，x₁•x₂=4-k，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（k-3）²-4（4-k）=k²-2k-7，
∵方程两个根x₁，x₂之差的绝对值为1，
∴k²-2k-7=1，解得k₁=-2，k₂=4，
∴存在实数k=-2或4时，使得x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的两个根x₁，x₂之差的绝对值为1．

点评 本题主要考查了根与系数关系与根的判别式的知识，解答本题的关键是求出m的值，此题多次使用根的判别式，需要熟练掌握，此题难度不大．