Question

6．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF．
（1）判断△CDF的形状并证明．
（2）若BC=6，AF=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）理由“ASA”证明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形；
（2）由△ADF≌△BCD得到AD=BC=6，AF=BD=2，然后计算AD-BD即可．

解答 解：（1）△CDF为等腰直角三角形．理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF=90°，
在△ADF和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DB}\\{∠DAF=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCD，
∴DF=CD，∠ADF=∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB=90°，
∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形；
（2）∵△ADF≌△BCD，
∴AD=BC=6，AF=BD=2，
∴AB=AD-BD=6-2=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．