Question

20．已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．
（1）①求证：∠ANB=∠AMC；
         ②探究△AMN的形状；
（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）①先由菱形可知四边相等，再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC，则对角线AC与四边都相等，利用ASA证明△ANB≌△AMC，得结论；
②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△AMN是等边三角形；
（2）①成立，根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°，证明△ANB∽△AMC，得∠ANB=∠AMC；
②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式进行变形后，再证明△NAM∽△BAD，则△AMN是等腰直角三角形．

解答 证明：（1）如图1，①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠D=60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠NAM=60°，
∴∠NAB=∠CAM，
由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABN=∠ACB=60°，
∴△ANB≌△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：
由∴△ANB≌△AMC，
∴AM=AN，
∵∠NAM=60°，
∴△AMN是等边三角形；
（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：
在正方形ABCD中，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，
∵∠NAM=45°，
∴∠NAB=∠MAC，
由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=180°-90°-45°=45°，
∴∠ABN=∠ACM=45°，
∴△ANB∽△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如图2，不成立，
△AMN是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴△NAM∽△BAC，
∴∠ANM=∠ABC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．

点评 本题是四边形的综合题，综合考查了菱形、等边三角形、等腰直角三角形等图形的性质，本题有一处易犯的错误要注意：“将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，”AM与AN不一定相等，要注意是射线AM旋转，而不是线段；在证明相似三角形时，本题巧妙地运用了一对相似三角形的对应边的比来证明另一对三角形相似，从而得出△AMN是等腰直角三角形．