Question

（1）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．
①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由．
下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．
解：过Q作QF⊥直线AC于点M
∵PE⊥AC于点E，QF⊥直线AC于点M
∴∠AEP=∠F=90°
（下面请你完成余下的解题过程）
②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由．
（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）
（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC满足

∠A=∠ACB

条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）

Answer 1

分析：（1）①求出AC的值，过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，根据AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF，根据平行线分线段成比例定理求出DE=DF，即可求出答案；②根据AAS证△APE和△CFQ全等，推出CF=AE，推出AC=EF即可；
（2）与①证法类似求出DE=DF，AE=CF=

1

2

EF，推出EF=AC，代入求出即可；
（3）根据①的结论求出只要∠A=∠ACB时，就能推出AE=CF，即可求出答案．

解答：解：（1）①线段DE的长度不变，
由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=10

2

，
过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，
∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°，AP=CQ=t，
∴AE=PE=QF=CF，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴QF∥PE，
∴

PE

QF

=

ED

DF

，
∴DE=DF=

1

2

EF=

1

2

（EC+CF）=

1

2

（EC+AE）=

1

2

AC=5

2

．
②成立，
理由是：在△AEP和△CFQ中

∠AEP=∠QFE ∠A=∠QCF AP=CQ

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AC=AE+CE=CF+CE=EF，
由①知：DE=DF=

1

2

EF，
∴DE=

1

2

AC，
∴成立．

（2）与①证法类似：知DE=DF，EF=AC，
∴DE=

1

2

a．

（3）当∠A=∠ACB时，
∵∠DCF=∠ACB=∠A，
在△AEP和△CFQ中

∠A=∠QCF ∠AEP=∠CFQ AP=CQ

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，
即AC=EF，
由①知ED=DF，
∴DE=

1

2

AC，
∴故答案为：∠A=∠ACB．

点评：本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点的运用，主要考查学生运用性质进行推理，能根据证明过程得出证题规律和结果规律是解此题的关键，只要掌握证①的规律，此题就能迎刃而解．