题目内容

如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点E作x轴的垂线FE，首先表示出E，F点坐标，进而得出S△CBE=S△CEF+S△BEF，再利用二次函数最值求法得出答案；
（3）利用当
BQ
BP
=
BC
BA
时，当
BQ
BP
=
BA
BC
时，分别求出Q点坐标；
（4）分别利用当CM1=PC，当PC=PM2，当CM3=PM3，当PC=PM4，进而求出符合题意的坐标即可．
解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴
3=c
0=9+3b+c
，
解得
b=-4
c=3
，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；

（2）如图（1）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点F（x，-x+3），点E（x，x2-4x+3），
∴EF=-x2+3x，
∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=
1
2
EF•OB=-
3
2
x2+
9
2
x=-(x-
3
2
)2+
27
8
，
∵a=-
3
2
＜0，
∴当x=
3
2
时，S△CBE有最大值，
∴y=x2-4x+3=-
3
4
，
∴E（
3
2
，-
3
4
）．

（3）如图（2），
由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当
BQ
BP
=
BC
BA
时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．∴Q1（0，0），
∴当
BQ
BP
=
BA
BC
时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=
2
3
．∴Q2（
7
3
，0）；


（4）如图（3），连接PC，
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴PC=2
5
，当CM1=PC，则M1（2，7），
当PC=PM2，则M2（2，2
5
-1），
当CM3=PM3，则M3（2，
3
2
），
当PC=PM4，则M4（2，-2
5
-1），
∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2
5
-1），
M3（2，
3
2
），M4（2，-2
5
-1）．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
练习册系列答案
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方程
1
x-1
=
2
x+1
的解为（　　）
A、-1B、1C、2D、3
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（单位：户/个）
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．
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cm．

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