题目内容
如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．（1）当n=136时，α=
（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；
（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）
（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,矩形的性质,圆周角定理,切线长定理,相似三角形的性质,锐角三角函数的定义
专题：压轴题
分析：（1）由∠AOP=136°可求出∠POB，进而求出∠PAB，用同样的方法就可求出α与n的关系．
（2）运用切线长定理即可解决问题．
（3）先考虑各种临界位置下α的值，就能得出点F分别在线段CD上、CD的延长线上、DC的延长线上时对应α的取值范围．
（4）分点E在线段BC上和点E在线段BC的延长线上两种情况进行讨论，利用等边三角形和直角三角形的有关性质即可解决问题．
（2）运用切线长定理即可解决问题．
（3）先考虑各种临界位置下α的值，就能得出点F分别在线段CD上、CD的延长线上、DC的延长线上时对应α的取值范围．
（4）分点E在线段BC上和点E在线段BC的延长线上两种情况进行讨论，利用等边三角形和直角三角形的有关性质即可解决问题．
解答：解：（1）连接OP，如图1，
由题可知：∠AOP=136°．
∴∠POB=44°．
∴∠PAB=22°．
∵∠AOP=n°，
∴∠POB=180°-n°．
∴∠PAB=α=
∠POB=
（180°-n°）=90°-
n°．
故答案为：22°，
α与n的关系式α=90°-
n°．
（2）EB=EP．
理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴EB与半圆O相切．
又∵EP与半圆O相切，
∴由切线长定理得：EB=EP．
（3）①如图2，此时点F与点D重合，连接DO．
由切线长定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．
∴DO⊥AP．
∴∠DAP=90°-∠ADO=∠DOA．
∵∠DAO=90°，AD=3，A0=2，
∴tan∠DOA=
=
=1.5．
∵tan56.3°≈1.5，
∴∠DOA=56.3°．
∴∠DAP=∠DOA=56.3°．
∴α=90°-56.3°=33.7°．
②如图3，当∠POB=90°时，显然过点P的切线与CD平行，
此时，α=45°．
③如图4，此时点E与点C重合．同①可得：α=56.3°．
结合以上临界位置可得：
当点F在线段CD上时，0°＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；
当点F在线段CD的延长线上时，33.7°＜α＜45°；
当点F在线段DC的延长线上时，45°＜α＜56.3°．
（4）存在△ABP与△CEF相似的情况．
①当点E在BC上时，如图5所示，
若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠CEF．
∵EF与半圆O相切，
∴∠OPE=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OPE=∠ABC=90°
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠CEF=2∠EBP．
∴∠ABP=2∠EBP．
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠ABP=60°．
∴∠AOP=2∠ABP=120°．
∴n=120°．
此时，∠PAB=∠EPB=∠EBP=30°．
过点E作EH⊥BP，垂足为H．
∵EP=EB，EH⊥BP
∴PH=BH=
PB=
×2=1．
∴cos∠HBE=
=
=
．
∴BE=
．
∴CE=3-
．
∵∠CEF=∠ABP=60°，
∴∠CFE=30°，
∴EF=2CE=6-
．
②当点E在BC的延长线上时，如图6所示，
若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠EFC．
∴∠E=90°-∠EFC=90°-∠ABP=∠EBP．
∵EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠EPB=∠EBP=∠E．
∴△EPB是等边三角形．
∴∠EPB=∠EBP=60°．
∴∠OPB=∠OBP=30°．
∴∠AOP=60°．
∴n=60°．
∵AB=4，∠PBA=30°，
∴AP=2，PB=2
．
∴EB=PB=2
．
∴EC=2
-3．
∵∠EFC=90°-60°=30°，
∴EF=2EC=4
-6．
综上所述：△ABP与△CEF相似时，n=60°，EF=4
-6或n=120°，EF=6-
．
由题可知：∠AOP=136°．
∴∠POB=44°．
∴∠PAB=22°．
∵∠AOP=n°，
∴∠POB=180°-n°．
∴∠PAB=α=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故答案为：22°，
α与n的关系式α=90°-
| 1 |
| 2 |
（2）EB=EP．
理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴EB与半圆O相切．
又∵EP与半圆O相切，
∴由切线长定理得：EB=EP．
（3）①如图2，此时点F与点D重合，连接DO．
由切线长定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．
∴DO⊥AP．
∴∠DAP=90°-∠ADO=∠DOA．
∵∠DAO=90°，AD=3，A0=2，
∴tan∠DOA=
| AD |
| AO |
| 3 |
| 2 |
∵tan56.3°≈1.5，
∴∠DOA=56.3°．
∴∠DAP=∠DOA=56.3°．
∴α=90°-56.3°=33.7°．
②如图3，当∠POB=90°时，显然过点P的切线与CD平行，
此时，α=45°．
③如图4，此时点E与点C重合．同①可得：α=56.3°．
结合以上临界位置可得：
当点F在线段CD上时，0°＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；
当点F在线段CD的延长线上时，33.7°＜α＜45°；当点F在线段DC的延长线上时，45°＜α＜56.3°．
（4）存在△ABP与△CEF相似的情况．
①当点E在BC上时，如图5所示，
若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠CEF．
∵EF与半圆O相切，
∴∠OPE=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OPE=∠ABC=90°
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠CEF=2∠EBP．
∴∠ABP=2∠EBP．
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠ABP=60°．
∴∠AOP=2∠ABP=120°．
∴n=120°．
此时，∠PAB=∠EPB=∠EBP=30°．
过点E作EH⊥BP，垂足为H．
∵EP=EB，EH⊥BP
∴PH=BH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴cos∠HBE=
| HB |
| BE |
| 1 |
| BE |
| ||
| 2 |
∴BE=
2
| ||
| 3 |
∴CE=3-
2
| ||
| 3 |
∵∠CEF=∠ABP=60°，
∴∠CFE=30°，
∴EF=2CE=6-
4
| ||
| 3 |
②当点E在BC的延长线上时，如图6所示，
若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠EFC．
∴∠E=90°-∠EFC=90°-∠ABP=∠EBP．
∵EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠EPB=∠EBP=∠E．
∴△EPB是等边三角形．
∴∠EPB=∠EBP=60°．
∴∠OPB=∠OBP=30°．
∴∠AOP=60°．
∴n=60°．
∵AB=4，∠PBA=30°，
∴AP=2，PB=2
| 3 |
∴EB=PB=2
| 3 |
∴EC=2
| 3 |
∵∠EFC=90°-60°=30°，
∴EF=2EC=4
| 3 |
综上所述：△ABP与△CEF相似时，n=60°，EF=4
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、圆周角定理、切线长定理、锐角三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，考查了用临界值法求α的范围，综合性比较强
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