Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若CD=4，AD=8，试求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】分析：(1)、连接OC，根据切线以及等腰三角形的性质得出∠DAC=∠CAB，从而得出角平分线；(2)、作OE⊥AD于点E，设⊙O的半径为x，根据题意得出四边形OEDC是矩形，然后根据Rt△AOE的勾股定理得出答案．

详解：（1）证明：如图1，连接OC， ∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，

∴∠1=∠4． ∵OA=OC，∴∠2=∠4，∴∠1=∠2， ∴AC平分∠DAB．

（2）解：如图2，作OE⊥AD于点E，

设⊙O的半径为x，∵AD⊥CD，OE⊥AD， ∴OE∥CD；

由（1），可得AD∥OC，∴四边形OEDC是矩形，∴OE=CD=4，AE=AD﹣DE=8﹣x，

∴42+（8﹣x）2=x2， ∴80﹣16x+x2=x2， 解得x=5， ∴⊙O的半径是5．