Question

如图点P在线段AB上，⊙P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，已知A、B两点的坐标分别是（8，6），（5，0），
求：圆心P的坐标和⊙P的面积．

Answer 1

分析：过A作AE⊥x轴于E，PF∥x轴交OA于F，连接OP、PC、PD，由勾股定理求出OA=10，求出PC=PD，根据角平分线性质和平行线性质求出∠FOP=∠FPO，推出PF=OF，根据平行线性质得出比例式，求出

PB

AP

=

1

2

，求出r=2，求出BD、OD，得出P的坐标．

解答：解：
过A作AE⊥x轴于E，PF∥x轴交OA于F，连接OP、PC、PD，
∵A（8，6），B（5，0），
∴AE=6，OE=8，由勾股定理得：OA=10，
∵⊙P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，
∴PC⊥OA，PD⊥OB，
∵PC=PD，
∴∠FOP=∠BOP，
∵PF∥OB，
∴∠FPO=∠BOP，
∴∠FOP=∠FPO，
∴PF=OF，
∵PF∥OB，
∴

AP

PB

=

AF

FO

，
∴

AP

PB

=

AF

PF

，
∵

AF

AO

=

PF

OB

，
∴

AO

OB

=

AF

PF

，
即

AP

PB

=

AO

OB

=

10

5

=

2

1

，
∴

PB

AP

=

1

2

，

PB

AP+PB

=

1

2

，

r

6

=

PB

AB

=

1

3

，
r=

1

3

×6=2，
而

BD

BE

=

2

6

=

1

3

，
BD=

1

3

BE=

1

3

×（8-5）=1，
∴OD=5+1=6，
即P的坐标是（6，2），
⊙P的面积是π×2²=4π．

点评：本题考查了切线的性质，角平分线性质，平行线性质，平行线分线段成比例定理，圆的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．