Question

18．已知抛物线y₁=$\frac{1}{4}$（x-x₁）（x-x₂）交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且点A在点B的左边，直线y₂=2x+t经过点A，若函数y=y₁+y₂的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为8．

Answer 1

分析 根据题意可以假设y=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{t}{2}$）²，再求出y₁=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{4}$t-2）x+$\frac{{t}^{2}}{16}$-t，利用AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$即可解决．

解答 解：∵线y₂=2x+t经过点A（x₁，0），
∴2x₁+t=0
∴x₁=-$\frac{t}{2}$，A（-$\frac{t}{2}$，0）
∵若函数y=y₁+y₂的图象与x轴只有一个公共点，
∴这个公共点就是点A，
∴可以假设y=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{t}{2}$）²=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$tx+$\frac{{t}^{2}}{16}$
∴y₁=y-y₂=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{4}$t-2）x+$\frac{{t}^{2}}{16}$-t．
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（8-t）^{2}-4•（\frac{{t}^{2}}{4}-4t）}$=$\sqrt{64}$=8．
故答案为8．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识，还考查了一元二次方程的根与系数的关系，灵活运用顶点式是解决问题的关键．