Question

阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴

将下式减去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁴﹣1

即S=2²⁰¹⁴﹣1

即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴﹣1

请你仿照此法计算：

（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，

将等式两边同时乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，

将下式减去上式得：2S﹣S=2¹¹﹣1，即S=2¹¹﹣1，

则1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹﹣1。

（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，

两边乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，

下式减去上式得：3S﹣S=3ⁿ⁺¹﹣1，即S=（3ⁿ⁺¹﹣1），

则1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）。

【解析】（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值。

（2）同理即可得到所求式子的值。