Question

对于任意的实数x，记f（x）=

2x

2x+1

．
例如：f（1）=

21

21+1

=

2

3

，f（-2）=

2-2

2-2+1

=

1

5

（1）计算f（2），f（-3）的值；
（2）试猜想f（x）+f（-x）的值，并说明理由；
（3）计算f（-2014）+f（-2013）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2013）+f（2014）．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：新定义

分析：（1）将x=2，3分别代入求出f（2）与f（3）的值即可；
（2）猜想f（x）+f（-x）=1，证明即可；
（3）利用（2）中的结论，将原式结合后，计算即可得到结果．

解答：解：（1）f（2）=

22

22+1

=

4

5

，f（-3）=

2-3

2-3+1

=

1

9

；

（2）猜想：f（x）+f（-x）=1，
证明：f（x）+f（-x）=

2x

2x+1

+

2-x

2-x+1

=

2x

2x+1

+

1 2x

1 2x + 2x 2x

=

2x+1

2x+1

=1；
（3）f（-2014）+f（-2013）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2013）+f（2014）
=f（-2014）+f（2014）+f（-2013）+f（2013）…+f（-1）+f（1）+f（0）
=1+1+…1+

1

2

=2014

1

2

．

点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．