题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，已知点P（2， $数学公式$ ），过P作PA⊥y轴交y轴于点A，以点P为圆心PA为半径作⊙P，交x轴于点B，C，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得四边形ABCP的面积是△BPQ面积的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．

解：（1）过P作PD⊥BC交BC于D，
由题意得：PA=PB=PC=2，PD=OA= $\text{[math]}$
∴BD=CD=1，
∴OB=1，
∴A（0， $\text{[math]}$ ），B（1，0），C（3，0）；

（2）设该抛物线解析式为：y=a（x-1）（x-3），则有：
$\text{[math]}$ =a（0-1）（0-3），解之得a= $\text{[math]}$ ，
故该抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x-1）（x-3）；

（3）存在．
∵∠BDP=90°，BD=1，BP=2，
∴cos∠DBP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠DBP=60°，
∴∠BPA=60°，
∴△ABP与△BPC都是等边三角形，
∴S_{四边形ABCP}=2S_△ABP=2S_△BCP．
∵B（1，0），P（2， $\text{[math]}$ ），
∴过B，P两点的直线解析式为：y= $\text{[math]}$ ．
则可设经过点A且与BP平行的直线解析式为：y= $\text{[math]}$ x+b₁，
且有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×0+b₁，解之得b₁= $\text{[math]}$ 即y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
解方程组 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
也可设经过点C且与BP平行的直线解析式为：y= $\text{[math]}$ x+b₂，
且有0=3 $\text{[math]}$ +b₂，解之得 b₂=-3 $\text{[math]}$ 即y= $\text{[math]}$ x-3 $\text{[math]}$ ．
解方程组 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∴Q（0， $\text{[math]}$ ），（7，8 $\text{[math]}$ ），（3，0），（4， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）过P作BC的垂线，设垂足为D；由P点坐标可确定A、D点的坐标，在Rt△BDC中，PC、PD的长已知，很容易求得CD、BD的长，由此确定B、C的坐标．
（2）将（1）题得到的三点坐标，代入抛物线的解析式中进行求解即可．
（3）按（1）的思路，容易得到四边形ABCP是平行四边形，那么S_?ABCP=2S_△ABP=2S_△BPC，若四边形ABCP的面积是△BPQ面积的2倍，那么S_△BPA=S_△BPC=S_△BPQ，以BP为底进行讨论，那么点Q为过A或C且与BP平行的直线与抛物线的交点，按此思路解题即可．
点评：该二次函数综合题中涉及到解直角三角形、图形面积的解法等知识，（3）题需分类讨论，是容易漏解的地方，将所求面积进行适当转化也是解题的一个小技巧．