Question

已知关于x的方程

1

4

x2-2

a

x+(a+1)2=0有实根．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程mx²+（1-m）x-a=0的所有根均为整数，求整数m的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式求a的值；
（2）利用（1）的结果，将关于x的方程mx²+（1-m）x-a=0转化为方程mx²+（1-m）x-1=0，然后分类讨论：二次项系数的取值分两种情况：当m=0和m≠0时的两种情况．

解答：解：（1）∵关于x的方程

1

4

x2-2

a

x+(a+1)2=0为一元二次方程，且有实根．
故满足：

a≥0 △=(-2 a )2-4× 1 4 ×(a+1)2≥0.

整理得

a≥0 (a-1)2≤0.

解得a=1
（2）∵mx²+（1-m）x-1=0，
∴（mx+1）（x-1）=0；
①当m≠0时，
∴x₁=-

1

m

，x₂=1，
∴整数m的值为1或-1；
②当m=0时，x=1；
综上所述，整数m的值是1、-1或0．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系