Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-

5

4

=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y²-(x1-k-

1

2

)y+（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

=0 ②的根，其中x₁、x₂为方程①的两个实数根，且x₁＜x₂，求代数式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

•(a2-1)的值．

Answer 1

分析：（1）求出根的判别式△=9，然后根据△的情况即可进行证明；
（2）求出x₁的值，并根据根与系数的关系求出（x₁-k）（x₂-k）的值，然后对关于y的方程整理成一般形式，从而得到关于a的一元二次方程，再把代数式化简，然后即可求解．

解答：（1）证明：∵△=[-2（k+1）]²-4×（k²+2k-

5

4

），
=4k²+8k+4-4k²-8k+5，
=9＞0，
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁＜x₂，
∴x₁=

2(k+1)- 9

2×1

=k-

1

2

，
∴x₁-k-

1

2

=k-

1

2

-k-

1

2

=-1，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2（k+1），x₁•x₂=

c

a

=k²+2k-

5

4

，
∴（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

，
=x₁•x₂-k（x₁+x₂）+k²+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k（k+1）+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k²-2k+k²+

1

4

，
=-1，
∴关于y的方程为y²+y-1=0，
∵a是方程的解，
∴a²+a-1=0，
∴1-a²=a，
(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

•(a2-1)=

a+1-a2

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=

2a

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=-

1

2

a，
根据求根公式可得a=

-1± 1+4

2

=

-1± 5

2

，
∴-

1

2

a=-

1

2

×

-1± 5

2

=

1± 5

4

，
故代数式的值为

1+ 5

4

或

1- 5

4

．

点评：本题考查了根的判别式，△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，△＜0时，一元二次方程没有实数根，（2）中把关于y的一元二次方程消去k与x₁、x₂，整理成只含有字母y的方程是解题的关键，本题难度较大，计算比较复杂．