Question

8．已知：如图，直线y=kx+b与x轴y轴分别交于点E，F，点E，F的坐标为（8，0），（0，6），点A的坐标为（6，0）．
（1）求直线EF的函数关系式；
（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+b上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点E、F的坐标代入直线y=kx+b中得出关于k、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，由P点在第一象限可得出0＜x＜8，再根据坐标系中点的坐标的意义可知线段OA、PD的长度，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（3）令S=9，得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，根据E、F点横坐标的数值即可得知此事点P为线段EF的中点．

解答 解：（1）∵点E（8，0），点F（0，6）在直线EF上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线EF的函数关系式为y=-$\frac{3}{4}$x+6．
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．

∵点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+b上的点，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6，且0＜x＜8．
∵点A的坐标为（6，0），点P的坐标为（x，-$\frac{3}{4}$x+6），
∴OA=6，PD=-$\frac{3}{4}$x+6．
△OPA的面积S=$\frac{1}{2}$OA•PD=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{3}{4}$x+6）=-$\frac{9}{4}$x+18（0＜x＜8）．
（3）令S=9，即-$\frac{9}{4}$x+18=9，
解得：x=4，
∵E点横坐标为8，F点横坐标为0，
∴此时P点为线段EF的中点．
故当P运动到线段EF的中点时，△OPA的面积为9．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、坐标系中点的意义、三角形的面积公式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出OA、PD的长；（3）由S=9得出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在函数图象上，代入点的坐标利用待定系数法即可求得函数解析式．