Question

3．如图，点A，B在⊙O上，点C在⊙O外，连接AB和OC交于D，且OB⊥OC，AC=CD．        
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OC=13，OD=1，求⊙O的半径及tanB．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线．
（2）由勾股定理求出OA，得出OB，由三角函数的定义求出tanB即可．

解答 （1）证明：连接OA，如图所示：
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OC=13，OD=1，
∴AC=CD=OC-OD=12，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
即⊙O的半径为5，
∵OB=OA=5，
∴tanB=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{5}$．

点评 此题考查了切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数值的求法．此题难度适中，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．