题目内容
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF=BC•DF．考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：先证明△ADC∽△CDB可得
=
，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得
=
，则可证得结论．
| AD |
| CD |
| AC |
| BC |
| DF |
| CF |
| AD |
| DC |
解答：证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB，且∠ACD=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴
=
，
∵E为BC中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠DCE=∠DAC，
∴∠FDC=∠FAD，且∠F=∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴
=
，
∴
=
，
∴AC•CF=BC•DF．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB，且∠ACD=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴
| AD |
| CD |
| AC |
| BC |
∵E为BC中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠DCE=∠DAC，
∴∠FDC=∠FAD，且∠F=∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴
| DF |
| CF |
| AD |
| DC |
∴
| AC |
| BC |
| DF |
| CF |
∴AC•CF=BC•DF．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
练习册系列答案
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