Question

有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均比赛一场)，用x₁、y₁顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x₂、y₂顺次表示第二号选手胜与负的场数，…，用x₁₀、y₁₀顺次表示第10号选手胜与负的场数，求证：＋…＋＋…＋．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵(＋…)－(＋…＋) 　　＝()＋()＋…＋() 　　＝(x1＋y1)(x1－y1)＋(x2＋y2)(x2－y2)＋…＋(x10＋y10)(x10－y10) 　　＝9(x1－y1)＋9(x2－y2)＋…＋9(x10－y10) 　　＝9[(x1＋x2＋…＋x10)－(y1＋y2＋…＋y10)]， 　　又∵每位选手的胜场数之和与负场数之和相等． 　　∴原式＝0，即＋…＋＋…＋． 　　说明：显然x1，y1，x2，y2，…，x10，y10是未知的，不确定的，但x1＋y1，x2＋y2，…，x10＋y10却是一个定值，即每位选手胜、负的场数和为定值9，应从此入手．本题要证两者相等，转化为证两者之差为零，即采用作差法求解；本题在变化之中隐含着两个不变量每位选手的胜负场数和每位选手的比赛场数相等，所有选手的胜场数和与负场数和相等，这就是解决本题的关键所在．