Question

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax²+bx﹣4上，

∴，

∵c=6，

∴a=2，b=﹣8，

∴y=2x²﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n²﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n²﹣8n+6），

=﹣2n²+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）²+，

∵PC＞0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，

把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，

∴直线AC解析式：y=﹣x+3，

点C在抛物线上，设C（m，2m²﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m²﹣8m+6=﹣m+3，

整理得：2m²﹣7m+3=0，

解得；m=3或m=，

∴P（3，0）或P（，）．