Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A.B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（____ ，_____ ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

Answer 1

（1）（6-x ， x ）；
（2）设MPA的面积为S，在MPA中，MA=6-x，MA边上的高为 x，
    其中，0≤x≤6
    ∴S=（6-x）×x= (-x²+6x) = -  (x-3)²+6 
    ∴S的最大值为6， 此时x =3；
（3）延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有PＱ⊥ＯA
  ①若ＭP=ＰA ∵ＰＱ⊥ＭA ∴ＭQ=ＱA=x. ∴3x=6, ∴x=2；
  ②若ＭＰ=ＭA，则ＭＱ=6-2x，ＰＱ= x，ＰＭ=ＭA=6-x
   在ＲtPMQ中，∵PM²=MQ²+PQ²
   ∴(6-x) ²=(6-2x) ²+ (x) ²   ∴x=
  ③若PA=AM，∵PA=x，AM=6-x   ∴x=6-x   ∴x= 
  综上所述，x=2，或x=，或x=。