Question

11．如图，抛物线y=mx²-4mx-12m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点E为BC的中点，点D为抛物线的顶点，且OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点G在线段BC上，S_△BOG=$\frac{1}{2}$S_△COG，若抛物线上有一动点P（点P在对称轴右侧），当P点坐标为何值时，四边形CDPG的面积最大，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、C坐标，把点C坐标代入抛物线解析式，即可解决问题．
（2）如图，作GM⊥AB于M，GN⊥对称轴于N，连接PN、PG、PD，CD、DG，当△DPG面积最大时，四边形CDPG的面积最大．设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-6），根据S_△PDG=S_△DNP+S_△NGP-S_△DNG构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，得mx²-4mx-12m=0，解得x=-2或6，
∴点A（-2，0），点B（6，0），
∵OB=OC，
∴点C（0，-6），把C（0，-6）代入抛物线解析式得m=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6．

（2）如图，作GM⊥AB于M，GN⊥对称轴于N，连接PN、PG、PD，CD、DG．

∵S_△BOG=$\frac{1}{2}$S_△COG，D（2，-8），
∴CG=2GB，
∵GM∥OC，
∴$\frac{MG}{OC}$=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴MG=2，BM=2，
∴点G坐标（4，-2），点N坐标（2，-2），
∵S_{四边形CDPG}=S_△CDG+S_△DGP，△DCG面积为定值，
∴当△DPG面积最大时，四边形CDPG的面积最大．设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-6），
∵S_△PDG=S_△DNP+S_△NGP-S_△DNG=$\frac{1}{2}$×6×（m-2）+$\frac{1}{2}$×2×（-2-$\frac{1}{2}$m²+2m+6）-$\frac{1}{2}$×6×2=-$\frac{1}{2}$（m-5）²+$\frac{9}{2}$．
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m=5时，△PDG的面积有最大值，此时点P坐标（5，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、最值问题等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会转化的思想解决问题，学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．